Введение

Введение

Об авторе

Секст Юлий Фронтин был человеком блистательной карьеры. От Тацита мы узнаем, что он был городским претором в 70 г. (Hist. 4.39), а затем был правителем Британии, непосредственным предшественником Агриколы в этой должности (Agr. 17). Тацит дает ему самую лестную характеристику и сообщает, что именно он подчинил беспокоившее римскую Британию племя силуров, обитавшее на территории современного Уэльса. Консулом Фронтин был трижды: с января 100 г. совместно с императором Траяном, а до этого суффектом в 73 г. и 98 г. Наконец, мы знаем со слов самого Фронтина, что в 97 г. он был назначен куратором вод (curator aquarum), то есть начальником водоснабжения города Рима. Даже беглый взгляд на его предшественников показывает, что на этот пост обыкновенно назначали лишь очень заслуженных людей, практически сплошь консуляров. Плиний Младший, став авгуром в 103 или 104 г., сменил на этом посту Фронтина, причем Плиний, как и Тацит, характеризует Фронтина наилучшим образом, называет его одним из самых уважаемых людей в Риме (Epist. 4.8, 5.1, 9.19). Таким образом, хотя мы не знаем, когда Фронтин стал членом коллегии авгуров, мы довольно точно знаем, когда он перестал им быть. В принципе, должность авгура была пожизненной, и назначение Плиния, вероятно, означает, что Фронтин умер в 103-104 гг., то есть примерно в одно время с поэтом Марциалом, с которым он был почти наверняка знаком при жизни, ибо у едкого Марциала есть прочувствованная эпиграмма (Mart. 10.58), с любовью обращенная к «Фронтину», да и вообще, у них был по самой крайней мере один общий знакомый – все тот же Плиний Младший.
Обратим внимание, что все дошедшие до нас характеристики этого человека чрезвычайно лестны, а из его собственных сочинений также встает образ человека добросовестного и порядочного. По свидетельству Плиния, Фронтин запретил ставить себе памятник, высказавшись в том смысле, что если он того заслужил своими делами, то эти дела и будут его памятником у потомков.
Все указанные даты складываются в стройную картину, давая основания считать, что Фронтин родился между 30 г. и 40 г. Тогда его жизнь восстанавливается (пусть иногда и гадательно) следующим образом. Несомненно принадлежа к нобилитету (а возможно, и к патрицианскому роду Юлиев), в молодости он служил в армии: при Нероне, в 58-63 гг. воевал против парфян в Армении под командованием Гнея Домиция Корбулона. Вероятно, что он остался в армии еще на несколько лет. В 67 г. Корбулон был отозван и покончил с собой по приказанию Нерона, а три из его легионов (V Macedonica, X Fretensis, XV Apollinaris) были переданы будущему императору Веспасиану для подавления восстания в Иудее. Таким образом, есть вероятность, что Фронтин участвовал в иудейской войне и так вошел в доверие к императорам династии Флавиев. При Веспасиане, в 70 г. достиг претуры возрасте 30-35 лет. Спустя еще три года, стал консулом-суффектом. После этого, был назначен легатом Британии. Это должно было случиться в 74-75 гг, ибо в 78 г. его уже сменил на этом посту тесть Тацита Агрикола, а Фронтин за свое правление успел немало повоевать в Уэльсе. В царствование Домициана, Фронтин принял участие в войне против хаттов в Германии (83 г.), как можно судить на основании его сочинения «О военных хитростях», а затем был проконсулом Азии около 86 г., ибо его имя упомянуто в надписи на воротах города Гиераполя. Стоит отметить и то, что во всем тексте «О водопроводах», написанном вскоре после убийства Домициана, есть лишь одно замечание об этом императоре, не самое лестное, но и не особенно резкое. Это может говорить о том, что Фронтин даже у Домициана, последнего из Флавиев, был на хорошем счету и, будучи человеком высокоморальным (вспомним лестные отзывы Плиния Младшего и Тацита), не желал писать о Домициане ничего ужасного.
После гибели Домициана, Фронтин был назначен императором Нервой на должность куратора вод в 97 г., как он это сам утверждает в тексте «О водопроводах». В это время ему было 60-70 лет. Нерва умер уже в январе 98 г., так что фактически все пребывание Фронтина на этой должности пришлось на правление императора Траяна. В 98 г. он был консулом-суффектом, а в 100 г. разделил первое консульство года с императором. Вероятно, он стал членом жреческой коллегии авгуров после 98 г. и оставался им, а равно и куратором вод, вплоть до своей смерти в 103-104 гг. Ему должно было быть около 70 лет.
Так примерно можно восстановить основные вехи жизни Фронтина. Этот человек жил и писал в период, который можно охарактеризовать как начальный этап высшего расцвета римского государства: правление династии Флавиев и в особенности начало правления династии Антонинов. Римская империя переживала экономический подъем, ей сопутствовали военные удачи, а на ее огромной территории с 70 г. царил глубокий, просто неслыханный по меркам древних, мир. Римская империя того времени не знала себе равных, в буквальном смысле этого выражения. Насколько римляне знали, за ее пределами было только варварство. Где-то большее, где-то меньшее, но ничего сравнимого по уровню цивилизации нигде более не существовало. В этом же смысле, аристократия римского мира, к которой принадлежал и Фронтин, не имела себе равных. Европейские аристократии Нового времени, например, находились в тесном контакте друг с другом и воспринимали друг друга как людей одного круга. Одни аристократии служили зеркалом для других. Римская же аристократия ничего подобного не имела. Это была аристократия без зеркала. Высший эшелон этих лишенных возможности видеть свое отражение аристократов жил в городе Риме. И точно так же, как они сами, этот их город не имел себе равных. И действительно, Рим в это время был крупнейшим городом мира, и при этом чрезвычайно благоустроенным, как в смысле архитектурного ансамбля, так и в смысле основных удобств и санитарных норм, ибо без этого было бы невозможным поддерживать огромное население, по оценкам превышавшее миллион человек. Даже самые крупные из прочих городов, о которых римляне могли иметь понятие, были несопоставимы с Римом. Вдобавок, для богатого аристократа, а не для одного из миллиона рядовых полунищих горожан, это был еще и город роскоши, развлечений, невероятного размера архитектурных сооружений и садов. Поэтому совершенно естественно, что для Фронтина Рим – подлинный и единственный в своем роде центр вселенной, а его систему водоснабжения он называет наилучшим показателем величия Римской империи.
Помимо сочинения «О водопроводах», до нас дошла книга Фронтина «О военных хитростях», написанная им, вероятно, в правление Домициана, ибо война Домициана с хаттами там упомянута, но о должности куратора вод там нет ничего. Исследователи считают, что среди недошедших до нас произведений Фронтина было еще теоретическое сочинение о военном искусстве и какие-то книги о землемерии. Таким образом, все творчество Фронтина было технического, практического характера, что хорошо согласуется с восклицанием Фронтина о полезности римских построек (§ 16).

О сочинении

Назначение Фронтина на должность куратора вод надежно датируется 97 г. на основании слов самого Фронтина (§ 102). Из вступления следует, что это сочинение он написал в начале своего управления. Однако, сочинение не могло быть закончено совсем уж скоро после назначения Фронтина, ибо, по его описаниям, он уже успел развить бурную деятельность, и по меньшей мере измерял истоки водопроводов в течение целого лета. Вероятно, написание текста было закончено самое раннее в 98 г. Но в январе 98 г. назначивший Фронтина император Нерва скончался, а власть перешла к Траяну. Это приводит к любопытной проблеме: Фронтин неоднократно упоминает императора в тексте, но нет возможности точно установить, какого из этих двух он имеет в виду, ведь Траян, став приемным сыном императора Нервы, тоже носил имя Нерва. Пожалуй, в § 87 Фронтин все-таки говорит о Нерве, иначе это был бы очень запутанный способ выражения. Несомненно, что именно о Нерве идет речь и в § 118, так как он там назван божественным, чего Фронтин никак не мог бы сказать о пережившем его Траяне. Но в § 93 явно упомянут Траян, хотя, прежде чем строить на этом теорию, нужно отметить, что в основании такой теории будет лежать одно-единственное слово «Traianum», которое могло быть легко вставлено в рукопись переписчиком, и которое может быть без ущерба для фразы выброшено. Указать какое-либо место в тексте, где Фронтин бы явно делал переход от одного императора к другому, не удается, а потому под вопросом оказываются вообще все упоминания императора, кроме § 87 и § 118. Не исключено, что Фронтин и сам «не знал»: начал писать, имея в виду одного императора, затем переключился на другого и был вполне доволен двусмысленностью текста.
Текст «О водопроводах» известен по одной рукописи (C), обнаруженной в монастыре Монте-Кассино в 1429 г. Эта рукопись, написанная минускулом на пергаменте, содержит также сочинение «О военном искусстве» Вегеция и, частично, «О латинском языке» Варрона. Каталог монастырской библиотеки датирует ее рубежом 11 и 12 веков, но тщательно изучивший ее в 18 веке маркиз Джиованни Полени отнес ее в своем издании к 13 или 14 веку. Рукопись дошла до нас в посредственном состоянии, сделана не вполне аккуратно, с бессистемной пунктуацией и капитализацией начальных букв, без пробелов между словами, но с оставленными промежутками как способом указания лакун, и со следами исправлений. Этим объясняются, вероятно, математические несуразности в тексте: переписчики могли предпочитать различные уровни точности в вычислениях. Нельзя исключать и то, что переписчик мог просто неверно прочитать числа, написанные стенографически. Текст рукописи разделен на две книги, но Полени предпочел ввести сквозную нумерацию глав.
Язык Фронтина далеко не изящен, изобилует неуклюжими фразами, а иногда и просто переходит на телеграфный стиль. В конце концов, перед нами технические записки, написанные им в первую очередь для себя самого. Эти особенности стиля были по возможности сохранены в переводе.
Текст изобилует топографическими данными, и читатель существенно улучшит понимание текста, если будет читать его, имея перед глазами хорошую карту древнего Рима и его окрестностей. В примечаниях я обычно не обращал внимание на топонимику, поскольку это тема отдельных исследований. Сходным образом, я не ставил себе целью детальное разьяснение устройства римских водопроводов.
Настоящий перевод был сделан с латинского текста, приведенного в издании Bennett Ch. 1925: Frontinus, The Stratagems and The Aqueducts of Rome / Loeb Classical Library. London.

Вычисления

Текст Фронтина содержит немалое количество вычислений, ибо Фронтин полагал, что измеряет расход воды из трубы путем измерения площади сечения этой трубы, о чем будет сказано подробно ниже. Он многократно вычисляет длину и площадь окружности, а также находит квадрат отношения двух диаметров. Все эти его вычисления довольно точны. Скажем более того: они точны чрезмерно, ибо он доводит их до точности, совершенно бессмысленной при той точности, с которой римляне могли надеяться изготовить или измерить какую-либо трубу. И действительно, римские трубы, изготавливавшиеся сворачиванием свинцовых пластин, по своей форме были довольно далеки от круглых. Не лучше были и керамические трубы, составляемые из сегментов, так что конец предыдущего вставлялся в начало следующего. Выражаясь современным научным языком, Фронтин постоянно превышал допустимую точность вычислений. Это достаточно распространенный порок старинных ученых, полагавших, что точность чрезмерной быть не может. Но в практических применениях это не так, а ведь Фронтин руководствовался полученными им цифрами на деле, отчего, вероятно, пострадало немало его подчиненных. Впрочем, превышение точности было не самой серьезной проблемой Фронтина. Гораздо хуже было то, что его метод измерения воды в принципе неверен, о чем будет сказано ниже.
Для числа π Фронтин использует значение ²²/₇ – неплохое и очень распространенное приближение. Все дробные числа он выражает с помощью римской системы дробей, в которой крупную роль играет унция, ¹/₁₂ (так, например, ⅚ называется «dextans», то есть десять унций). Полный список дробей, употребляемых Фронтином, приведен в таблице.
 

Название

Значение

Название

Значение

Semissis

½

Dextans

Triens

Deunx

¹¹/₁₂

Quadrans

¼

Semuncia

¹/₂₄

Sextans

Sextula

¹/₇₂

Bes

Sescuncia

Dodrans

¾

Duella

¹/₃₆

Uncia

¹/₁₂

Sicilicus

¹/₄₈

Quincunx

⁵/₁₂

Scripulum

¹/₂₈₈

Septunx

⁷/₁₂

В рукописи применяется стенографическое обозначение дробей вдобавок к широко известным римским цифрам. Унция обозначается горизонтальной чертой, напоминающей современное тире. Кратная унции дробь обозначалась соответствующим количеством таких черт. Например, = – означает три унции, то есть ¼ . Но иногда унции и их кратные могли обозначаться и точками, так что ∴ означает ту же дробь ¼. Половина (½) обозначается S. Полу­-унция (¹/₂₄) обозначается ℒ (но также S), а скрупул (¹/₂₈₈) обозначается знаком, сходным с кириллической буквой Э. Например, дробь ³/₂₈₈ записывается выражением Э III.
В переводе все числа даны в современном обозначении: смешанным числом или дробью, с наименьшим возможным знаменателем.

Измерение расхода воды у Фронтина[1]

Гидродинамика (раздел физики, посвященный движению жидкостей) начала развиваться всерьез лишь в 19 веке, а потому туманные представления Фронтина о ней совершенно простительны. Фронтин «измеряет» расход воды (то есть объем воды, протекающий через трубу за единицу времени) простым измерением площади сечения трубы. Ему казалось очевидным, что если, например, площадь сечения одной трубы в 2 раза больше площади сечения другой, то и расход воды через нее будет в 2 раза больше.
То, что метод Фронтина несостоятелен, было замечено многими авторами[2]. Но эти авторы концентрировались лишь на одном упущении Фронтина: на том, что он не учитывает влияния давления воды на скорость ее движения по трубе. Из-за этого может создаться впечатление, что метод Фронтина работал бы в случае, если бы это давление было постоянным, например, если бы Фронтин сравнивал расход воды из нескольких труб, подключенных к одному и тому же резервуару на одной и той же высоте. Но оказывается, что и это не так. Как мы теперь знаем, расход воды через трубу зависит, конечно же, от приложенного давления, но также и от формы сечения трубы (а не только от площади), и от длины трубы, и от степени шероховатости ее стенок. Наконец, что интереснее всего, даже если зафиксировать все эти параметры и варьировать только площадь сечения трубы, то оказывается, что расход воды не пропорционален этой площади, как думал Фронтин, а зависит от нее более сложным образом. Насколько мне известно, в исторической литературе нет изложения этих физических результатов, и я попытаюсь дать его здесь вкратце. Разумеется, нельзя надеяться рассказать об этом сколько-нибудь полно и строго, не требуя от читателя определенного уровня физических знаний. Поэтому зададимся целью дать лишь краткое представление о сути явления, а читатель, обладающий должной подготовкой, может обратиться к любому из существующих руководств по гидродинамике[3].
Для конкретности будем рассматривать модельную ситуацию: пусть вода вытекает по горизонтальной круглой трубе из большого резервуара (рис. 1). Высота уровня воды над трубой как раз и определяет вышеупомянутое давление жидкости.

Рис. 1. Модельная ситуация, в которой вода вытекает из большого резервуара по круглой горизонтальной трубе.

Представляется очевидным, что для того, чтобы найти расход воды, нужно знать не только сечение трубы, но и скорость, с которой вода по этой трубе течет. А именно, расход Q (то есть, объем воды, протекающей за единицу времени; его же называют пропускной способностью трубы) равен произведению площади сечения трубы A на скорость течения V:
(1)
Элементарное применение закона сохранения энергии приводит к формулe, исторически известной как формула Торричелли:

(2) откуда
Здесь g = 980 см/сек² – ускорение свободного падения. Видно, что хотя расход воды здесь пропорционален площади сечения трубы, но коэффициент пропорциональности, то есть скорость течения, зависит от высоты уровня Разумеется, было бы ошибкой думать, что Фронтин совершенно не сознавал этого. В некоторых местах (§§ 35, 70, 73) явно видно, что он имеет представление о факторах, влияющих на скорость течения. Скорее, складывается впечатление, что он полагал эту скорость более или менее постоянной, за исключением совсем уж крайних случаев.
В действительности, однако, предположение Фронтина о пропорциональной зависимости расхода от площади неверно даже в случае постоянного h. Дело в том, что формула Торричелли верна лишь при пренебрежении трением и вязкостью, а такое пренебрежение оправданно, только если труба очень короткая (фактически, не труба, а просто отверстие).
Для учета эффекта трения и вязкости следует знать, что течение жидкости может происходить в двух принципиально различных режимах: ламинарном и турбулентном. В ламинарном течении не образуются вихри, и скорость жидкости может пребывать неизменной во времени. Турбулентное течение, наоборот, состоит сплошь из вихрей. Анализ уравнений гидродинамики показывает, что существует параметр, определяющий, является ли течение ламинарным или турбулентным. Этот параметр называется числом Рейнольдса, обозначается , и приближенно находится по формуле

Здесь ν– типичная величина скорости жидкости, D – диаметр трубы, а η – вязкость жидкости. Вязкость воды равна η = 0,01 см²/сек с хорошей точностью. Для низких чисел Рейнольдса течение ламинарно, для высоких – турбулентно. В круглой трубе переход из одного режима в другой происходит в районе Re = 2000.
Простыми оценками можно убедиться, что, в разумных предположениях, течение в любой из труб Фронтина имело высокое число Рейнольдса, а следовательно было турбулентным. Тем не менее, рассмотрение ламинарного течения (а оно имело бы место, например, в еще более узких трубах) полезно, поскольку оно позволит нам ввести несколько важных понятий. К тому же, в некоторых случаях Фронтин мог и впрямь иметь дело с ламинарным течением, пусть и не в круглой трубе (например, когда он пытался измерять течение воды в русле у истока водопровода).
В ламинарном случае уравнения гидродинамики показывают, что скорость воды максимальна на оси трубы и постепенно спадает до нуля у стенок. Профиль скоростей, схематически изображенный на рис. 2, оказывается параболой.

Рис. 2. Схематическое распределение скоростей жидкости при ламинарном течении по круглой трубе.
Важнейшим фактом здесь является то, что какой-либо одной «скорости течения по трубе» не существует: скорость воды в действительности меняется от одной точки в сечении трубы к другой. Следовательно, величину V в формуле (1) можно понимать лишь как усредненную скорость. Другое важное наблюдение заключается в том, что само возвышение параболического профиля (то есть, скорость течения на оси трубы) возрастает с диаметром трубы. Следовательно, если мы, не меняя давление, увеличим диаметр, то не только большее количество воды будет помещаться в сечении трубы, но и двигаться вода будет в среднем быстрее. Иными словами, средняя скорость V в формуле (1) отнюдь не постоянна, а сама зависит от площади A, В результате, расход воды растет не пропорционально площади сечения, а по более быстрому закону. В случае ламинарного течения ответ оказывается таким:

где L – длина трубы, предполагаемая достаточно большой, чтобы течение, войдя в трубу, имело, так сказать, возможность приспособиться ней.
Итак, если труба на рис. 1 не предполагается короткой, то расход воды при вытекании дается формулой (4), а не (2). Разница весьма существенна: расход оказался пропорционален не площади сечения, а квадрату этой площади. Также, расход падает с увеличением длины трубы, что легко понять: чем длиннее труба, тем больше трения ее стенки успевают приложить к воде, замедляя ее течение.
Подчеркнем еще раз, что формула (4) верна только когда течение ламинарно (что имеет место для достаточно малого ). Если бы это условие выполнялось в римских трубах, расхождения расчетов Фронтина с действительностью было бы поистине огромным. Например, он получает, что пропускная способность трубы кентенарии примерно равна 81 квинарии, а в действительности было бы примерно 6640 квинарий! К счастью для Фронтина, течение в его трубах было, как уже говорилось, турбулентно, а из-за этого зависимость расхода от сечения трубы существенно замедляется.
В турбулентном случае уравнения гидродинамики невозможно решить точно, и приходится прибегать к полу-эмпирическим формулам и приближенным методам, существенно более сложным математически. В частности, невозможно получить статичное распределение скоростей вроде рис. 2, так как локальные скорости жидкости теперь постоянно и хаотически меняются со временем. Но если мы станем наблюдать за жидкостью в течение некоторого времени и усредним локальные скорости по этому промежутку времени, то тогда мы все-таки получим для средних скоростей картину, схожую с рис. 2, но с более плоским профилем:

Рис. 3. Схематическое распределение усредненных скоростей жидкости при турбулентном течении по круглой трубе.
Усредненные по времени скорости воды остаются почти неизменны в большей части сечения трубы, а затем довольно резко спадают возле стенок. Хорошим приближением для расхода воды в турбулентном случае является следующая полу-эмпирическая формула[4]:
(5)
Несмотря на ее внушительный вид, эту формулу совсем не трудно проанализировать на интересующем нас уровне. Логарифм является чрезвычайно медленно растущей функцией, так что зависимость от размера трубы определяется в основном множителем перед логарифмом. Мы видим, что дополнительная зависимость возникает из-за диаметра D под квадратным корнем. Следовательно, расход воды возрастает с диаметром трубы примерно пропорционально выражению или, что то же самое, .
Разумеется, это отклонение от простой пропорциональности куда мягче того, которое мы видели для ламинарного случая в формуле (4). Тем не менее, расхождение быстро накапливается при увеличении труб. Так, для кентенарии мы должны ожидать пропускную способность около 250 квинарий, вместо 81 квинарии, рассчитанной Фронтином: разница примерно в три раза. Также заметим, что расход воды по-прежнему зависит от длины трубы и уровня воды
Остановимся, наконец, на зависимости расхода воды от формы сечения трубы. Формулы (4) и (5) были выведены для круглых труб. Если же труба имеет другую форму (или если это даже течение не по трубе, а по открытому руслу вроде того, который Фронтин измерил в § 65), то формулы несколько модифицируются, хотя качественно предсказания вида зависимости остаются в силе. Простое правило заключается в том, что из двух каналов одинакового сечения большую пропускную способность будет иметь тот, у которого меньше смачиваемый водой периметр сечения. Ибо именно контакт воды со стенками канала приводит к торможению, следовательно, чем этот контакт меньше, тем быстрее вода течет по каналу. Отсюда следует, что из всех труб одинаковой площади сечения наибольшей пропускной способностью будет обладать круглая труба: ведь из всех фигур одинаковой площади круг имеет наименьший периметр. Также, открытый сверху канал будет доставлять больше воды, чем полностью заполненный закрытый канал с тем же сечением, ибо в открытом канале верхняя поверхность воды свободна и не подвержена тормозящему действию стенок.
В интересующем нас турбулентном случае оказывается не так уж трудно учесть это правило и достичь разумной точности в расчете расхода воды из канала произвольной формы. Обратим внимание, что диаметр окружности равен учетверенному отношению ее площади к периметру. Аналогично посчитанная для канала произвольной формы величина называется гидравлическим диаметром этого канала:
(6)
Здесь P обозначает смачиваемый периметр канала (то есть, если текущая вода не соприкасается с частью периметра, то эту часть не надо включать в P). Теперь пропускная способность канала может быть рассчитана по формуле (5), в которую вместо подставляется гидравлический диаметр.
В итоге, нет ничего удивительного в том, что Фронтин, который наивно полагал, что расход воды всегда пропорционален площади сечения с универсальным коэффициентом пропорциональности, регулярно получал крупные расхождения между количеством воды, втекающим в водопровод, и количеством, вытекающим из него. Фронтин объяснял такие расхождения жульничеством аквариев, и нет сомнения, что жульничество имело место. Однако должно было быть огромное количество случаев, когда аквариев несправедливо обвиняли в воровстве воды, ибо метод измерения воды был, как мы видим, совершенно несостоятелен. Можно удивляться, как римляне смогли построить сложную распределительную систему для воды, не имея, как оказывается, никакого способа для ее расчета. Вероятно, пока высокообразованное начальство забавлялось математическими абстракциями, подчиненные инженеры-практики делали все по-своему, руководствуясь многолетним опытом.

Единицы длины

Фронтин пользуется следующими единицами длины:
Passus – шаг, 148 см.
Pes – стопа (фут), ⅕ шага, примерно 30 см.
Uncia – унция (дюйм), ¹/₁₂ фута, примерно 25 мм.
Digitus – палец, ¹/₁₆ фута, примерно 19 мм.

Даты

Для перевода дат Фронтина «от основания города» в современную систему следует считать, что годом 0 от основания города был 752 г. до н. э., а не более общепринятый 754 г. до н. э. Так, 719 г. от основания города у Фронтина является 752­ – 719 = 33 г. до н. э.

Литература

Bailly Ch. 1849: S. J. Frontin, Les Stratagèmes, Aqueducs de la Ville de Rome. Paris.
Herschel C. 1899: The Two Books on the Water Supply of the City of Rome of Sextus Julius Frontinus. Boston.
Bennett Ch. 1925: Frontinus, The Stratagems and The Aqueducts of Rome / Loeb Classical Library. London.
Hodge A. T. 1984: How did Frontinus Measure the Quinaria? // American Journal of Archaeology. 88. 205-216.
Rodgers R. H. 1986: Copia Aquarum: Frontinus’ Measurements and the Perspective of Capacity // Transactions of the American Philological Association. 116. 353-360.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. 2001: Гидродинамика. Москва.
Rodgers R. H. 2004: Frontinus, De Aquaeductu Urbis Romae. Cambidge.

[1] Основное содержание этого раздела было ранее опубликовано на английском языке: http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Journals/LacusCurtius/Note_on_Wate...
[2] Например, Herschel 1899, Hodge 1984, Rodgers 1986.
[3] Например, Ландау 2001.

[4] Эта формула верна, если стенки трубы не чрезмерно шероховаты. Если же это условие не выполняется, то формула изменится, но несущественно для наших целей. А именно, для шероховатой трубы где d обозначает характерный размер шероховатостей. Модификация происходит только под логарифмом, которым мы в нашем рассмотрении все равно пренебрегаем.